让我们来剖析一下这个二次方程：x² – 4x – 3 = 0。我们要用多种方式把它抽丝剥茧，确保理解透彻。

1. 配方法：优雅的变形

配方法的核心思想是把方程转化成完全平方的形式，也就是 (x + a)² = b 这样的形式。步骤如下：

• 移项： x² – 4x = 3
• 配方： 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 (-4/2)² = 4。 于是， x² – 4x + 4 = 3 + 4
• 化简： (x – 2)² = 7
• 开方： x – 2 = ±√7
• 解方程： x = 2 ± √7

所以，方程的两个解是 x₁ = 2 + √7 和 x₂ = 2 – √7。

2. 公式法：简单粗暴，但有效

公式法是直接套用公式，简单快捷。对于一般的二次方程 ax² + bx + c = 0，其解为：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

在本例中，a = 1, b = -4, c = -3。 代入公式，得：

x = (4 ± √((-4)² – 4 * 1 * -3)) / (2 * 1)
x = (4 ± √(16 + 12)) / 2
x = (4 ± √28) / 2
x = (4 ± 2√7) / 2
x = 2 ± √7

同样得到：x₁ = 2 + √7 和 x₂ = 2 – √7。

3. 图像法：直观感受，理解根的含义

我们把方程 x² – 4x – 3 = 0 看作函数 y = x² – 4x – 3。 那么，方程的解就是函数图像与x轴的交点（也称为根）。

• 这是一个开口向上的抛物线。
• 可以通过配方找到顶点坐标： (2, -7)。
• 我们可以大致画出图像，可以看到图像与x轴有两个交点，分别位于2的左右两侧。
• 这两个交点就是我们的解：2 + √7 和 2 – √7。 图像法帮助我们理解了，解就是让函数值等于0的x值。

4. 因式分解：理想情况，但未必总可行

因式分解的目的是将方程转化为 (x + p)(x + q) = 0 的形式。 然而，对于 x² – 4x – 3 = 0 来说，很难直接找到整数p和q使其成立。因为 -3 的因子只有 1 和 3，它们的组合无论如何都无法得到 -4 的和。所以，此方法不太适合这个方程。如果强行因式分解，要用到更复杂的技巧，不如直接使用配方法或者公式法。

5. 近似解：不求精确，但足够实用

由于 √7 ≈ 2.646，我们可以近似地计算出方程的解：

• x₁ ≈ 2 + 2.646 ≈ 4.646
• x₂ ≈ 2 – 2.646 ≈ -0.646

在实际应用中，如果不需要非常精确的解，这些近似值通常足够了。

总结：

• x² – 4x – 3 = 0 有两个实数解。
• 解为 x₁ = 2 + √7 和 x₂ = 2 – √7。
• 配方法和公式法是解决此类问题的有效途径。
• 图像法帮助我们直观理解根的含义。
• 因式分解在此方程中不太适用，近似解在某些情况下足够使用。

希望通过这些不同的角度，你能够彻底理解这个二次方程的解法！