1² + 2² + 3² + … + 100² = ? 这是一个求平方和的问题，答案是 338350。 让我们用几种不同的方式来“解剖”这个看似简单的求和。
方法一：公式法 (简单粗暴但高效!)
这里有一个现成的公式可以直接套用，可以有效应对各种求连续自然数平方和的题型：
1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1) / 6
所以，当 n = 100 时：
100 * (100 + 1) * (2 * 100 + 1) / 6 = 100 * 101 * 201 / 6 = 338350
搞定！简单直接。 如果你需要快速得到答案，记住这个公式绝对没错。
方法二：数学归纳法 (证明公式，知其所以然)
你可能会问，上面的公式是怎么来的呢？ 数学归纳法是一种证明此类公式的有力工具。 它的基本思路是：
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基础情况： 验证公式对于 n = 1 成立。 显然，1² = 1，而公式给出 1 * 2 * 3 / 6 = 1，成立。
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归纳假设： 假设公式对于某个整数 k 成立，即 1² + 2² + … + k² = k(k+1)(2k+1) / 6。
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归纳步骤： 证明公式对于 k + 1 也成立。 也就是说，我们要证明：
1² + 2² + … + k² + (k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3) / 6
从归纳假设出发，左边可以写成：
k(k+1)(2k+1) / 6 + (k+1)²
= [k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)²] / 6
= (k+1) * [k(2k+1) + 6(k+1)] / 6
= (k+1) * (2k² + k + 6k + 6) / 6
= (k+1) * (2k² + 7k + 6) / 6
= (k+1) * (k+2) * (2k+3) / 6
正好等于右边！
因此，通过数学归纳法，我们证明了公式对于所有正整数 n 成立。 虽然这不能帮助我们直接计算结果，但它加深了我们对公式本身的理解。
方法三：分解求和 (巧妙的技巧)
还有一种更巧妙的方法，涉及一些代数技巧。 这种方法不直接套公式，而是通过一系列变换来简化问题。 考虑以下等式：
k³ – (k-1)³ = 3k² – 3k + 1
我们将 k 从 1 取到 n，得到一系列等式：
1³ – 0³ = 3 * 1² – 3 * 1 + 1
2³ – 1³ = 3 * 2² – 3 * 2 + 1
3³ – 2³ = 3 * 3² – 3 * 3 + 1
…
n³ – (n-1)³ = 3 * n² – 3 * n + 1
把这些等式全部加起来，你会发现左边发生了神奇的“抵消”现象，只剩下 n³。 右边则变成了：
n³ = 3 * (1² + 2² + … + n²) – 3 * (1 + 2 + … + n) + n
现在我们设 S = 1² + 2² + … + n²，并利用等差数列求和公式 1 + 2 + … + n = n(n+1) / 2，得到：
n³ = 3S – 3 * n(n+1) / 2 + n
解 S 得：
S = [n³ + 3n(n+1) / 2 – n] / 3
= [2n³ + 3n² + 3n – 2n] / 6
= n(2n² + 3n + 1) / 6
= n(n+1)(2n+1) / 6
再次得到了我们的公式！ 这种方法展示了解决问题的另一种思路，将求和问题转化为更易处理的代数关系。
结论
无论你选择哪种方法，1² + 2² + … + 100² 的结果都是 338350。 掌握不同的解题方法不仅能让你更快更准确地得到答案，还能提升你的数学思维能力。下次遇到类似问题，不妨试试不同的角度，你可能会发现新的乐趣！