3 x 6 + 3 = 21
7 x 2 + 7 = 21
(这就是两种最直接的整数解，下面我们深入挖掘这个等式背后的数学奥秘，并探索更多可能性。)
从简单到复杂：破解 几 x 几 + 几 = 21
我们先用代数语言来描述这个问题：
ax + a = 21
其中， a 和 x 都是未知数。我们需要找到满足这个等式的 a 和 x 的值。
解题思路一：因式分解的魅力
观察上面的等式，我们可以将左边进行因式分解：
a(x + 1) = 21
现在，问题转化为找到21的因数。 21的因数有：1, 3, 7, 21。 我们可以逐个尝试：
- 如果 a = 1， 那么 x + 1 = 21，所以 x = 20。 解： 1 x 20 + 1 = 21
- 如果 a = 3， 那么 x + 1 = 7， 所以 x = 6。 解： 3 x 6 + 3 = 21
- 如果 a = 7， 那么 x + 1 = 3， 所以 x = 2。 解： 7 x 2 + 7 = 21
- 如果 a = 21，那么 x + 1 = 1， 所以 x = 0。 解： 21 x 0 + 21 = 21
解题思路二： 变换视角
我们还可以将原等式变形为：
ax = 21 – a
进一步变形：
x = (21 – a) / a = 21/a – 1
这个公式告诉我们，只要 a 是21的因数，就能得到一个整数解 x。这和因式分解思路异曲同工。
解题思路三： 图形化的思考
假设 a 代表一个矩形的长， x 代表宽。 那么 ax 就是矩形的面积。 原等式可以理解为： 一个矩形的面积，加上它的长，等于21。 我们可以通过不断调整矩形的形状（长和宽），看看能不能找到符合条件的解。 虽然这种方法效率不高，但可以帮助我们更直观地理解问题。
更广阔的解空间：实数解的探索
到目前为止，我们主要讨论了整数解。 如果允许 a 和 x 是任意实数，那么解的数量将是无限的。 因为对于任何一个 a 值（除了0之外），我们都可以通过公式 x = (21 – a) / a 计算出一个对应的 x 值。
例如：
- a = 2, x = (21 – 2) / 2 = 9.5 解： 2 x 9.5 + 2 = 21
- a = 0.5, x = (21 – 0.5) / 0.5 = 41 解： 0.5 x 41 + 0.5 = 21
- a = -3, x = (21 – (-3)) / (-3) = -8 解： -3 x -8 + (-3) = 21
总结：
问题”几乘几加几等于21″看似简单，却蕴含着丰富的数学思想。 通过代数变形、因式分解、图形化思考等多种方法，我们不仅找到了整数解，还拓展到了实数解的领域。 这个问题也展现了数学的魅力，即从一个简单的起点，可以延伸到更深更广的知识领域。