说实话，第一次被人问“几乘几等于108”的时候，我脑子里像卡了带一样，只蹦出个“9乘12？”或者“12乘9？”。然后呢？一下子就懵住了。感觉108这个数吧，不像100、120、60那么“圆润”好拆，它有点像个带着小脾气的数字，藏着掖着，没那么容易把它的“组成”全看透。但你想想，这事儿难吗？其实一点儿也不，只是需要那么一点点小门道，像剥洋葱一样，一层一层来。

你想啊，几乘几等于108，这不就是在找108的因子吗？就是能把108“整除”的那些数。找到了因子，把它们两两一对儿地凑起来，乘积是108，那不就结了？问题是怎么才能把这些因子一个不落地全找出来？特别是像108这样，不算太小也不算太大的数。靠蒙？靠背乘法表？那可太不靠谱了，容易漏，也容易晕。

这时候，就得请出我们数学里的一个超级英雄了——质因数分解！这招真是屡试不爽。任何一个大于1的整数，都能唯一地写成一堆质数（就是只能被1和它自己整除的数，比如2、3、5、7、11…）相乘的形式。108嘛，来，咱们动手分解一下。
108 除以 2 等于 54。
54 除以 2 等于 27。
27 除以 3 等于 9。
9 除以 3 等于 3。
3 除以 3 等于 1。
停！到1了。所以，108拆开了就是 2 × 2 × 3 × 3 × 3。写成幂的形式，更清楚点：108 = 2² × 3³。

看，这就是108的“基因密码”了！它告诉我们，108这个数，是由两个2和三个3“组装”起来的。任何一个能整除108的数（也就是108的因子），都必须长成 2的某个次方 乘以 3的某个次方的样子。而且呢，2的那个次方数，不能超过2（因为108里只有两个2），3的那个次方数，不能超过3（因为108里只有三个3）。

所以，2的次方可以是 2⁰（也就是1），2¹（也就是2），2²（也就是4）。
3的次方可以是 3⁰（也就是1），3¹（也就是3），3²（也就是9），3³（也就是27）。

把2的次方和3的次方任意组合相乘，就能得到108所有的正整数因子啦！
1 × 1 = 1
1 × 3 = 3
1 × 9 = 9
1 × 27 = 27
2 × 1 = 2
2 × 3 = 6
2 × 9 = 18
2 × 27 = 54
4 × 1 = 4
4 × 3 = 12
4 × 9 = 36
4 × 27 = 108

瞧瞧，108所有的正整数因子都在这儿了：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108。一共12个！当时第一次这样系统地找出来，心里还真有点小小的激动，感觉像挖到了宝。

好了，现在我们有了108的全部正整数因子。几乘几等于108？不就是从这些因子里面挑两个，让它们乘起来等于108嘛。咱们把这些因子从小到大排好队：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108。然后从两头往中间配对就行了！
最小的因子是1，它要跟谁相乘才能等于108呢？当然是108自己了。所以，1 × 108 = 108。这就是第一对儿解：(1, 108)。
接着是2，2要乘以54才等于108。所以，2 × 54 = 108。第二对儿解：(2, 54)。
然后是3，3要乘以36。3 × 36 = 108。第三对儿：(3, 36)。
再是4，4要乘以27。4 × 27 = 108。第四对儿：(4, 27)。
之后是6，6要乘以18。6 × 18 = 108。第五对儿：(6, 18)。
最后是9，9要乘以12。9 × 12 = 108。第六对儿：(9, 12)。

你看，我们从1开始，一路找到9。12呢？它跟9是一对儿，912我们已经写过了。再往后找因子（18, 27, 36, 54, 108），它们都会和前面已经出现过的因子配对。所以，所有的正整数*对儿就是这6对：(1, 108), (2, 54), (3, 36), (4, 27), (6, 18), (9, 12)。

等等！乘法是有交换律的啊！问题问的是“几乘几等于108”，它没说第一个数必须小于第二个数。所以，9乘以12等于108，那12乘以9是不是也等于108？当然是！所以，刚才找到的每一对儿(a, b)，其实都对应着两种“几乘几”的形式：a × b = 108 和 b × a = 108。
那么，刚才的6对儿正整数解，就变成了12种“几乘几等于108”的正整数组合：
1 × 108 = 108
108 × 1 = 108
2 × 54 = 108
54 × 2 = 108
3 × 36 = 108
36 × 3 = 108
4 × 27 = 108
27 × 4 = 108
6 × 18 = 108
18 × 6 = 108
9 × 12 = 108
12 × 9 = 108

齐活了！这下正整数的几乘几等于108，咱们是彻底搞明白了。

但是，数学老师可能还会冷不丁地问你一句：“只考虑正整数吗？” 啊呀，对哦！负整数乘负整数，结果也是正整数呀！如果 (-a) × (-b) = ab，那不就是 (-a) × (-b) = 108 吗？
所以，刚才我们找到的每一对儿正整数解 (a, b)，都对应着一对儿负整数解 (-a, -b)。
比如 1 × 108 = 108，那么 (-1) × (-108) 也等于 108。
2 × 54 = 108，那么 (-2) × (-54) 也等于 108。
…
9 × 12 = 108，那么 (-9) × (-12) 也等于 108。

所以，除了那12种正整数组合，还有12种负整数的组合：
(-1) × (-108) = 108
(-108) × (-1) = 108
(-2) × (-54) = 108
(-54) × (-2) = 108
(-3) × (-36) = 108
(-36) × (-3) = 108
(-4) × (-27) = 108
(-27) × (-4) = 108
(-6) × (-18) = 108
(-18) × (-6) = 108
(-9) × (-12) = 108
(-12) × (-9) = 108

加起来，几乘几等于108的整数组合，总共有 12 + 12 = 24 种！一下子是不是觉得108这个数也没那么简单，里面藏着这么多乘法的组合？

当然了，如果你不限制整数，允许用分数或者小数，那答案就太多太多了，简直是无穷无尽！比如 0.5 × 216 = 108，10.8 × 10 = 108，还有 1/2 × 216 = 108，108.888… × (108 / 108.888…) = 108 … 这种情况通常在我们讨论“几乘几等于108”这种题目时，是不太会涉及的，大家默认聊的都是整数解。但如果要“讲透”，提一句也好，说明这个问题的边界在哪里。绝大多数时候，问这个问题，潜台词就是在问所有的整数因子组合。

回过头来看，从最开始的“脑袋卡壳”，到用质因数分解这个工具，系统地找到了所有的因子，再把它们两两配对，考虑了正数，也考虑了负数，最后把所有的组合都列出来。这个过程，不仅仅是找到了“几乘几等于108”的答案，更重要的，是学会了一种解决问题的方法：遇到一个复杂的数，先把它拆到最基本的样子（质因数分解），然后基于这些基本零件，去构建所有可能的组合。这就像搭乐高，你知道了所有的积木块，才能拼出所有可能的造型。

所以下次再遇到类似的问题，别慌，想想108，想想质因数分解。它不是数学的枯燥公式，是帮你打开数字秘密的钥匙。每找到一个因子，每配对成功一组乘法组合，都像是在探索一个未知的角落，挺有意思的。尤其是一口气把24种整数组合都列出来的时候，那种感觉，嗯，挺有成就感的。这不光是算术，是发现，是把一个看着有点神秘的数字，彻底“扒光”看透的过程。你看，一个简单的“几乘几等于108”，背后藏着这么多东西呢。