嘿，大家好！今天咱们不聊别的，就来掰扯掰扯那个再普通不过的数字——24。别看它普普通通，藏着的“秘密”可不少呢！特别是那个问题：24等于几乘几乘几？听着简单，真要把里头的事儿理清楚，嘿嘿，还真有点意思。这不光是数学题，在我看来，更像是个小小的探险，一层层剥开，看看这个24到底是怎么“长”成的。
你想啊，一个数字，能拆成三个家伙相乘，这得有多少种可能？脑子里是不是立马冒出一些数字？比如，最直接的：24 = 1 × 1 × 24。没错，1是万能的，它跟谁搭伙都不改变别人的“身份”。所以，包含1的组合是基础款。当然，1也可以多出现几次，比如 1 × 24 × 1 或者 24 × 1 × 1。哎，等等，我们讨论的是“几乘几乘几”，通常情况下，顺序不一样就算不同的排列。但在很多小学数学或者初等数论里，如果只考虑由哪些数字组成，不考虑顺序，那 1, 1, 24 就算一种。今天咱们尽量把所有情况都列出来，包括不同顺序的，这样才够“透彻”嘛！
那么，除了1，24还能被谁整除呢？这就是所谓的“因数”。24的因数有哪些？小学学过的因数分解派上用场了！24 ÷ 2 = 12，24 ÷ 3 = 8，24 ÷ 4 = 6，24 ÷ 6 = 4，24 ÷ 8 = 3，24 ÷ 12 = 2，24 ÷ 24 = 1。所以，24的因数有 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24。这些数字就像是组成24的基本“砖块”。现在，我们要从这些砖块里挑三个出来，让它们相乘等于24。
来，咱们一个一个“搭建”试试。
先从最小的因数2开始。如果有一个乘数是2，剩下两个是多少？那就是让剩下两个相乘等于 24 ÷ 2 = 12。那么问题就变成了：12等于几乘几？12的因数有 1, 2, 3, 4, 6, 12。
所以，如果一个乘数是2，另外两个可能是：
– 1 和 12 （2 × 1 × 12）。这里的组合就是 (2, 1, 12)。别忘了顺序啊！它可以是 2 × 1 × 12，也可以是 2 × 12 × 1，还有 1 × 2 × 12，1 × 12 × 2，12 × 1 × 2，12 × 2 × 1。嗯，这里涉及到三个不同数字的排列，有 3! = 6种不同的排列方式。
– 2 和 6 （2 × 2 × 6）。组合是 (2, 2, 6)。这里有两个2是相同的，排列数就不一样了。三个位置，选一个给6，剩下两个给2，有 3!/2! = 3种排列方式：2 × 2 × 6，2 × 6 × 2，6 × 2 × 2。
– 3 和 4 （2 × 3 × 4）。组合是 (2, 3, 4)。又是三个不同数字，排列数是 3! = 6种：2 × 3 × 4，2 × 4 × 3，3 × 2 × 4，3 × 4 × 2，4 × 2 × 3，4 × 3 × 2。
好，以2开头的“三兄弟”找得差不多了。接下来试试以3开头的，但要避免重复啊。比如 3 × 2 × 4 已经包含在上面 (2, 3, 4) 的组合里了。我们只找那些“新”的组合，也就是说，如果把三个乘数从小到大排列，它们是第一次出现。
刚才找的组合（忽略顺序）：
(1, 1, 24)
(1, 2, 12)
(1, 3, 8) （因为 24 ÷ 3 = 8，8可以拆成 1 × 8）
(1, 4, 6) （因为 24 ÷ 4 = 6，6可以拆成 1 × 6）
(2, 2, 6)
(2, 3, 4)
还有没有漏掉的呢？咱们继续系统地来。
从质因数分解入手可能更彻底。24的质因数分解是 24 = 2 × 2 × 2 × 3。这就像是24最“纯粹”的组成形式，它只有质数“朋友”。现在我们要从这四个质因数（三个2和一个3）里，分成三组，每组相乘得到一个乘数。
记住，最终我们要得到三个数相乘等于24。这三个数可以是质数，也可以是合数（由质数相乘得到）。
分组方式：
1. 把所有的质因数都分给一个乘数，剩下两个是1。这就是 (1, 1, 24)。
2. 把这四个质因数分成三组，比如一组一个2，一组一个2，剩下两个（一个2和一个3）一组。得到乘数就是 2, 2, (2×3)=6。组合是 (2, 2, 6)。
3. 把这四个质因数分成三组，比如一组一个2，一组（一个2和一个2）得4，剩下那个3一组。得到乘数就是 2, (2×2)=4, 3。组合是 (2, 3, 4)。
4. 还有别的分法吗？比如一组一个3，剩下三个2（2×2×2）得8，再加个1。得到乘数就是 1, 3, (2×2×2)=8。组合是 (1, 3, 8)。
5. 一组一个2，剩下三个分成两组，比如一组一个2，一组（一个2和一个3）得6，再加个1。得到乘数就是 1, 2, (2×3)=6。不对，24 ÷ (1×2) = 12，然后12拆成 1和12。这个已经包含在 (1, 2, 12) 里了。
重新整理一下，根据质因数分解 2, 2, 2, 3，我们要把这四个元素分配到三个“篮子”里，这三个篮子里的乘积就是我们找的三个乘数。允许篮子是空的（代表乘数是1）。
篮子1 | 篮子2 | 篮子3 | 乘数1 | 乘数2 | 乘数3 | 组合（从小到大）
——- | ——– | ——– | ——– | ——– | ——– | ——–
空 | 空 | 2,2,2,3 | 1 | 1 | 24 | (1, 1, 24)
2 | 空 | 2,2,3 | 2 | 1 | 12 | (1, 2, 12)
3 | 空 | 2,2,2 | 3 | 1 | 8 | (1, 3, 8)
2,2 | 空 | 2,3 | 4 | 1 | 6 | (1, 4, 6)
2 | 2 | 2,3 | 2 | 2 | 6 | (2, 2, 6)
2 | 3 | 2,2 | 2 | 3 | 4 | (2, 3, 4)
看着这张表，是不是感觉思路清晰多了？这六组（忽略顺序）数字，就是所有能相乘等于24的三元组。
现在，我们再把顺序考虑进去，把它们“膨胀”开来：
-
组合 (1, 1, 24)：
1 × 1 × 24
1 × 24 × 1
24 × 1 × 1
（3种） -
组合 (1, 2, 12)：
1 × 2 × 12
1 × 12 × 2
2 × 1 × 12
2 × 12 × 1
12 × 1 × 2
12 × 2 × 1
（6种） -
组合 (1, 3, 8)：
1 × 3 × 8
1 × 8 × 3
3 × 1 × 8
3 × 8 × 1
8 × 1 × 3
8 × 3 × 1
（6种） -
组合 (1, 4, 6)：
1 × 4 × 6
1 × 6 × 4
4 × 1 × 6
4 × 6 × 1
6 × 1 × 4
6 × 4 × 1
（6种） -
组合 (2, 2, 6)：
2 × 2 × 6
2 × 6 × 2
6 × 2 × 2
（3种） -
组合 (2, 3, 4)：
2 × 3 × 4
2 × 4 × 3
3 × 2 × 4
3 × 4 × 2
4 × 2 × 3
4 × 3 × 2
（6种）
把这些加起来，总共有 3 + 6 + 6 + 6 + 3 + 6 = 30种不同的“几乘几乘几”等于24的乘法算式（考虑顺序）。
看看这些数字跳跃的组合，是不是挺奇妙的？从最简单的 1 × 1 × 24，到质因数完全散开的 2 × 3 × 4，再到包含重复数字的 2 × 2 × 6，每一种都通往同一个结果——24。
这个过程，让我想起搭积木。24就是那个最终的模型，而它的因数就是不同形状、不同大小的积木块。我们可以用各种方式组合这些积木，只要它们能严丝合缝地搭在一起，最终的“体积”（乘积）就是24。而质因数，就像是组成所有积木的最小基本粒子，不可再分，但它们通过不同的组合，构成了所有更大的积木块。
再换个角度，想象一下一个边长分别是a、b、c的长方体，它的体积是 a × b × c。如果这个长方体的体积固定是24个立方单位，那么它的边长组合(a, b, c)有多少种可能呢？当然，边长通常是正数，而且这里我们考虑的是整数边长。这个问题本质上就回到了“24等于几乘几乘几”的整数解问题。而且，如果考虑的是物理上的长方体，边长 (1, 2, 12) 和 (2, 1, 12) 描述的是同一个形状的长方体，只是摆放方式不同。所以，在考虑形状时，我们只关心那六组不考虑顺序的组合：(1, 1, 24), (1, 2, 12), (1, 3, 8), (1, 4, 6), (2, 2, 6), (2, 3, 4)。这代表了六种不同“身材”的长方体，它们的体积都是24。
你看，一个简单的数学问题，牵扯出了因数、质因数分解、排列组合，甚至还能跟几何图形联系起来。数字的世界就是这样，充满联系，也充满各种可能性。24，一个再普通不过的数字，拆解开来，却有着这么丰富的“内心世界”。下回再看到24，或许你会跟我一样，脑子里不光闪过它的因数，还会想起它能被拆成各种各样的“三兄弟”相乘的有趣模样。这就是数字的魅力，它总能在一个个简单的问题背后，隐藏着更深、更广阔的天地，等着我们去探索。所以，别小看任何一个数字，它们都有自己的故事，自己的构成方式，自己的“几乘几乘几”的秘密等着你去揭开。