找出几乘几乘几等于48的所有可能？这可不是一道小学算术题那么简单，里面藏着不少有趣门道呢。
第一次被问到几乘几乘几等于48，脑子里蹦出来的第一个念头，大概率是那几个最顺口的数字吧？比如 2 乘 4 乘 6？ 2 * 4 = 8，8 * 6 = 48，bingo！找到了一个。感觉挺简单嘛。但转念一想，有没有别的呢？ 数字能不能重复？顺序算不算一种新的？如果允许负数呢？甚至小数？你看，一个看似简单的问题，一下就能岔出好多条小路。
咱们先老老实实地，从最常见的、最“规矩”的情况开始，也就是只考虑正整数。这是最常见的考法。要找到几乘几乘几等于48的所有正整数组合，最好的办法是把 48 这个数彻底“拆散”，也就是做质因数分解。48 等于多少？ 48 = 2 * 24 = 2 * 2 * 12 = 2 * 2 * 2 * 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3。所以，48 的质因数就是四个 2 和一个 3。我们要做的，就是把这五个“零件”—— 2，2，2，2，3 —— 分配给三个“坑”，让它们相乘。别忘了，还有一个隐形的“零件”，就是 1。任何数乘以 1 还是它自己，所以 1 也是可以用的，而且它特别重要，用来“填补”那些只分到少量质因数的坑。
好，现在开始分配零件，找几乘几乘几等于48的正整数解：
最省事的分配法，就是把大部分零件堆在一个坑里，另外两个用 1 顶上。
* 第一个坑拿走全部 48，剩下俩坑给 1 和 1。于是有了组合：1, 1, 48。管它 1*1*48 还是 1*48*1 还是 48*1*1，乘起来都是 48。这就算一种核心组合吧：{1, 1, 48}。
接下来，稍微分一点。比如，一个坑拿 3，另一个拿剩下的 2*2*2*2 = 16，还有一个用 1 顶。
* 组合：1, 3, 16。1*3*16 = 48。这又是一种核心组合：{1, 3, 16}。
或者，一个坑拿一个 2，另一个拿剩下的 2*2*2*3 = 24，还有一个用 1 顶。
* 组合：1, 2, 24。1*2*24 = 48。核心组合：{1, 2, 24}。
继续，一个坑拿两个 2 (就是 4)，另一个拿剩下的 2*2*3 = 12，用 1 顶。
* 组合：1, 4, 12。1*4*12 = 48。核心组合：{1, 4, 12}。
再来，一个坑拿三个 2 (就是 8)，另一个拿剩下的 2*3 = 6，用 1 顶。
* 组合：1, 8, 6。1*8*6 = 48。核心组合：{1, 6, 8} (习惯上把数字从小到大排)。
还有吗？一个坑拿一个 3，另一个拿剩下的四个 2 (16)。1, 3, 16。这个已经有了。
好了，1 已经“参与”得够多了，让它稍微休息一下，我们找三个都不是1的数。
怎么分那四个 2 和一个 3 呢？分给三个坑。
* 坑一：一个 2 (2)。
* 坑二：剩下的三个 2 (8)。
* 坑三：一个 3 (3)。
* 组合：2, 8, 3。2*8*3 = 48。核心组合：{2, 3, 8}。
换种分法：
* 坑一：两个 2 (4)。
* 坑二：剩下的两个 2 (4)。
* 坑三：一个 3 (3)。
* 组合：4, 4, 3。4*4*3 = 48。核心组合：{3, 4, 4}。
还有别的分法吗？
* 坑一：一个 2 (2)。
* 坑二：一个 2 和一个 3 (6)。
* 坑三：剩下的两个 2 (4)。
* 组合：2, 6, 4。2*6*4 = 48。核心组合：{2, 4, 6}。
- 坑一：一个 3 (3)。
- 坑二：一个 2 (2)。
- 坑三：剩下的三个 2 (8)。
- 组合：3, 2, 8。这个跟 {2, 3, 8} 是一样的组合，只是顺序不同。
让我们系统梳理一下所有的正整数核心组合（不考虑顺序）：
1. {1, 1, 48}
2. {1, 2, 24}
3. {1, 3, 16}
4. {1, 4, 12}
5. {1, 6, 8}
6. {2, 3, 8}
7. {2, 4, 6}
8. {3, 4, 4}
这8种就是构成 48 的所有三正整数因子组合了。
但如果问题中的“几”强调的是位置，也就是 几₁ 乘 几₂ 乘 几₃ 等于 48，那顺序就很重要了。比如 1*1*48 和 1*48*1 就是不同的填法。这时候，每种核心组合就要考虑它的排列数。
* {1, 1, 48}：里面有两个 1 是重复的，排列数是 3! / 2! = 3种 (1,1,48; 1,48,1; 48,1,1)。
* {3, 4, 4}：有两个 4 重复，排列数也是 3! / 2! = 3种 (3,4,4; 4,3,4; 4,4,3)。
* 剩下的六种组合 {1, 2, 24}, {1, 3, 16}, {1, 4, 12}, {1, 6, 8}, {2, 3, 8}, {2, 4, 6}，里面的数字都不同，每种都有 3! = 6种排列。
所以，如果考虑顺序，总共有 3 + 3 + 6*6 = 6 + 36 = 42 种不同的正整数填法。你看，是不是比一开始想的要多很多？
好了，正整数的坑填完了。那我们能不能放开一点，让“几”可以是负数呢？当然可以！只要三个数相乘结果是正的 48，那负号的个数必须是偶数个。既然是三个数，那负号就只能是 0 个（前面讨论过的正整数情况）或者 2 个。
也就是说，我们可以从上面找出的那些核心组合 {a, b, c}（它们都是正数）出发，然后给其中的两个数加上负号。
比如，拿 {1, 1, 48} 这组来说，要有两个负号。
* -1 * -1 * 48 = 48。组合：{-1, -1, 48}。
* -1 * 1 * -48 = 48。组合：{-1, 1, -48}。
* 1 * -1 * -48 = 48。组合：{1, -1, -48}。
注意哦，这里的 1, 1, 48 是值，不是位置。所以 {-1, -1, 48} 这个核心组合里，只有一种方式给两个数加负号（因为有两个 1 是一样的）。
对于不含重复数字的核心组合，比如 {1, 2, 24}：
* 给 1 和 2 加负号：{-1, -2, 24}，乘积 (-1)*(-2)*24 = 2*24 = 48。
* 给 1 和 24 加负号：{-1, 2, -24}，乘积 (-1)*2*(-24) = -2*(-24) = 48。
* 给 2 和 24 加负号：{1, -2, -24}，乘积 1*(-2)*(-24) = 1*48 = 48。
每种这样的正整数组合，都可以衍生出 3 种含有两个负数的组合。
我们有 8 种正整数核心组合：{1, 1, 48}, {1, 2, 24}, {1, 3, 16}, {1, 4, 12}, {1, 6, 8}, {2, 3, 8}, {2, 4, 6}, {3, 4, 4}。
* 组合 {1, 1, 48} 中，两个 1 是重复的，所以只能是把两个 1 都变成 -1 ({-1, -1, 48})，或者一个 1 变 -1 另一个 1 还是 1，然后把 48 变 -48 ({-1, 1, -48})。因为 1 和另一个 1 是同类项，所以 {-1, 1, -48} 和 {1, -1, -48} 算是同一种“值组合”{-1, 1, -48}。所以从 {1, 1, 48} 衍生出两种负数组合：{-1, -1, 48} 和 {-1, 1, -48} (虽然值一样但符号不同)。
* 组合 {3, 4, 4} 中，两个 4 重复。衍生出：{-3, -4, 4} 和 {-3, 4, -4}。两种。
* 剩下的 6 种不重复的正整数组合（{1, 2, 24}, {1, 3, 16}, {1, 4, 12}, {1, 6, 8}, {2, 3, 8}, {2, 4, 6}），每种都可以通过选择任意两个数变负来生成新组合。比如 {1, 2, 24} 可以变成 {-1, -2, 24}, {-1, 2, -24}, {1, -2, -24}。每种衍生出 3 种。
所以负整数核心组合（不考虑顺序，只看值的集合和符号）有：2 + 2 + 6*3 = 4 + 18 = 22 种。
如果考虑顺序（几₁ * 几₂ * 几₃ = 48）：
* 从 {-1, -1, 48} 这个值组合，有 3!/2! = 3 种排列 (-1, -1, 48; -1, 48, -1; 48, -1, -1)。
* 从 {-1, 1, -48} 这个值组合，数字各不相同（1和-1不同），有 3! = 6 种排列。
* 从 {-3, -4, 4} 这个值组合，有 3! = 6 种排列。
* 从 {-3, 4, -4} 这个值组合，有 3! = 6 种排列。
* 那 6 种不重复的正整数组合衍生的 18 种负数组合（每种三个值都不同），每种都有 3! = 6 种排列。比如 {-1, -2, 24}，有 (-1,-2,24; -1,24,-2; -2,-1,24; -2,24,-1; 24,-1,-2; 24,-2,-1) 这6种。总共 18 * 6 = 108 种。
所以，如果允许负整数且考虑顺序，总共有 42 (正整数排列) + 3 (来自{-1,-1,48}) + 6 (来自{-1,1,-48}) + 6 (来自{-3,-4,4}) + 6 (来自{-3,4,-4}) + 108 (来自其他不重复的负数组合) = 42 + 129 = 171 种填法。我的天，数字一下子就爆炸了！
这还是只考虑了整数的情况。如果允许小数、分数、甚至更广义的实数呢？那答案就无穷无尽了！
比如，随便取两个非零的实数 a 和 b，只要 a 乘 b 不等于 0，那么第三个数 c 就可以是 48 / (a * b)。只要 ab 不等于 0，这个 c 永远存在。例如，几乘几乘几等于48？可以是 0.5 * 10 * 9.6。可以是 π * e * (48 / (πe))。可以是 -√2 * 5 * (-4.8√2)。
所以，如果把问题中的“几”理解成任意非零实数，那解的数量就是无数*种。
通常，当人们问“几乘几乘几等于48”时，默认语境是正整数，而且很多时候也不区分顺序，就问有哪些“组合”。但深究起来，这个问题可以有好多层理解和解答，从最简单的 8 种正整数组合，到考虑顺序时的 42 种正整数排列，再到加入负整数后的数百种可能，最后到实数领域的无限解。
一个小小的算术问题，背后却牵扯出质因数分解、组合排列、数域扩展等等概念。下回再有人随口问“几乘几乘几等于48啊？”，你就可以微微一笑，反问他：“您说的是正整数不考虑顺序？正整数考虑顺序？还是允许负数？甚至是实数呢？”保证让对方刮目相看，觉得你这脑子回路，跟一般人不太一样，哈哈！数字的世界啊，真是越挖越深，越深越有趣。它就在那里，等着你一层一层地去揭开它的面纱。